Изучая физику в 7 классе, вы узнали о механическом движении, ознакомились с простейшей его разновидностью — равномерным прямолинейным движением. Раздел механики, который изучает движение тел и при этом не рассматривает причины, которыми это движение вызвано, называют кинематикой (от греч. «кинематос» — движение). Мы продолжим изучать кинематику, и сегодня вы узнаете о равноускоренном прямолинейном движении и физических величинах, его характеризующих.
повторяем основные понятия кинематики
Механическое движение — это изменение со временем положения тела в пространстве относительно других тел.
Рассмотрите рис. 28.1. Относительно каких тел движутся тела? Относительно каких тел они находятся в состоянии покоя? Почему механическое движение называют относительным?
Описывая механическое движение тела, мы, как правило, не рассматривали движение отдельных точек тела, а обращались к его физической модели — материальной точке. И далее, решая задачи на механическое движение тела, будем считать тело материальной точкой.
Материальная точка — это физическая модель тела, размерами которого в условиях задачи можно пренебречь.
В каком случае тела на рис. 28.1 можно считать материальными точками? В зависимости от формы траектории различают криволинейное и прямолинейное движения. Длина траектории равна пути, который преодолело тело. Путь l — это скалярная физическая величина. А вот перемещение s — направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела, — это векторная физическая величина (рис. 28.2).
Механическое движение называют равномерным прямолинейным, если тело за любые равные интервалы времени осуществляет одинаковые перемещения. Скорость v такого движения не изменяется ни по значению, ни по направлению; направление вектора скорости совпадает с направлением перемещения
Даём определение ускорения
Проведем простой опыт с длинным желобом и шариком. Приподняв один край желоба, положим на него шарик и отпустим. Шарик начнет скатываться (рис. 28.3, а). Видим: чем дальше будет шарик от верхнего края желоба, тем большее расстояние он будет преодолевать за 1 с. Это означает, что скорость движения шарика со временем увеличивается.
Повторим опыт, увеличив угол наклона желоба (рис. 28.3, б), — в этом случае скорость движения шарика будет увеличиваться еще быстрее. Говорят, что шарик движется с большим ускорением.
Ускорение — это векторная физическая величина, которая характеризует скорость изменения скорости движения тела и равна отношению изменения скорости движения тела к интервалу времени, за который это изменение произошло:
где а — ускорение движения тела; v 0 — начальная скорость (скорость движения тела в момент начала отсчета времени); V — скорость движения тела через интервал времени t.
Чтобы избежать сложных математических действий с векторами, будем пользоваться данной формулой, записанной в проекциях на ось координат (например, на ось OX):
Единица ускорения в СИ — метр на секунду в квадрате:
Рис. 28.2. Перемещение показывает, в каком направлении и на какое расстояние переместилось тело за некоторый интервал времени
Рис. 28.3. Положение шарика, скатывающегося по желобу, через 1 с, 2 с и 3 с после начала движения
Повторяем математику
Если направление вектора совпадает с направлением оси координат, то проекция вектора на эту ось равна модулю вектора.
Если направление вектора противоположно направлению оси координат, то проекция вектора на эту ось равна модулю вектора, взятому со знаком «-».
Для случая, представленного на рисунке: a x =-a; v x = v.
Рис. 28.5. Идя в школу, вы то быстрее, то медленнее увеличиваете скорость своего движения, иногда замедляете скорость, а какие-то интервалы времени движетесь с неизменной скоростью
Рис. 28.6. График зависимости a x (ί) для равноускоренного прямолинейного движения
Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей сил, которые действуют на тело.
Если ускорение направлено в сторону движения тела (ТТ v), скорость движения тела увеличивается (равнодействующая «подталкивает» и разгоняет тело).
Если ускорение направлено противоположно движению тела (Т1 и), скорость движения тела уменьшается (равнодействующая «мешает» движению и замедляет его).
Если a = 0, то силы, действующие на тело, скомпенсированы и тело движется равномерно прямолинейно или находится в состоянии покоя.
Для каждого случая (рис. 28.4) определите, увеличивается или уменьшается скорость движения тела в данный момент времени. Приведите примеры таких движений.
Узнаём, какое движение называют равноускоренным прямолинейным
Если тело движется неравномерно, его скорость непрерывно изменяется, причем обычно за равные интервалы времени скорость движения тела изменяется неодинаково (рис. 28.5).
В этом учебном году вы рассмотрите простейший вид ускоренного движения — равноускоренное прямолинейное движение и узнаете, что такое движение бывает, когда равнодействующая сил, приложенных к телу, неизменна.
Равноускоренное прямолинейное движение — это движение, при котором скорость движения тела за любые равные интервалы времени изменяется одинаково.
Иначе говоря, равноускоренное прямолинейное движение — это движение, при котором тело движется по прямолинейной траектории с неизменным ускорением. Во время такого движения ускорение тела не изменяется со временем, поэтому график зависимости a x (ί) представляет собой отрезок прямой, параллельной оси времени (рис. 28.6).
Определяем скорость равноускоренного прямолинейного движения
Если тело движется равноускоренно, скорость его движения все время изменяется. Поэтому далее, говоря о скорости равноускоренного движения тела, мы будем иметь в виду его мгновенную скорость.
Мгновенная скорость — это скорость движения тела в данный момент времени, скорость движения в данной точке траектории.
Для вычисления скорости равноускоренного прямолинейного движения тела воспользуемся определением ускорения.
Будем использовать эту формулу, записанную в проекциях на ось OX, которую направим вдоль траектории движения тела:
Если задано уравнение проекции скорости движения тела, то заданы и начальная скорость (v 0 , и ускорение (а) движения тела.
Например, уравнение проекции скорости имеет вид: v x = 20 - 3t. Это означает, что v 0 x = 20 м/с (начальная скорость равна 20 м/с, а ее направление совпадает с направлением оси OX); а х = -3 м/с 2 (ускорение равно 3 м/с 2 , а знак «-» показывает, что направление ускорения противоположно направлению оси OX).
Определите начальную скорость и ускорение движения тела, если уравнение проекции скорости имеет вид: v x = -10 + 2t.
Зависимость v x = v 0x + a x t линейна, поэтому график проекции скорости — график зависимости v x (t) — это отрезок прямой, наклоненной под некоторым углом к оси времени (рис. 28.7). В момент t = 0 скорость движения тела равна его начальной скорости
(v x = v 0 x , то есть график v x (t начинается на
оси ординат в точке с координатами (; v 0 x).
Если проекция ускорения положительна (x > 0 , то график скорости поднимается (график 1 на рис. 28.7). Если проекция ускорения отрицательна (x < 0 , то график скорости опускается (график 2 на рис. 28.7).
Обратите внимание: точка B графика 2 на рис. 28.7 — это точка разворота.
Учимся решать задачи
Задача 1. Автомобиль, движущийся со скоростью 90 км/ч, останавливается перед светофором. Определите время торможения автомобиля, считая его движение равноускоренным прямолинейным с ускорением 5 м/с 2 .
Анализ физической проблемы. Автомобиль останавливается, значит, его конечная скорость равна нулю (v = 0, а направление вектора ускорения противоположно направлению скорости движения.
Выполним пояснительный рисунок, на котором укажем ось координат (ее направление пусть совпадает с направлением движения), направление начальной скорости и направление ускорения движения автомобиля.
Задача 2. Тело двигалось прямолинейно вдоль оси OX. По графику зависимости v x (ί) (рис. 28.8): 1) опишите характер движения тела; 2) запишите уравнение проекции скорости движения тела; 3) постройте график зависимости проекции ускорения движения тела от времени.
Анализ физической проблемы, решение
1. График v x (ί) — прямая, значит, движение тела равноускоренное.
Первые 4 с тело двигалось в направлении, противоположном направлению оси OX(проекция скорости отрицательна), скорость его движения уменьшалась. В момент ί= 4 тело остановилось, а затем начало движение в обратном направлении (знак проекции скорости сменился на противоположный). Следующие 3 с тело двигалось в направлении оси OX, скорость его движения увеличивалась.
2. Запишем уравнение проекции скорости движения в общем виде:
Конкретизируем это уравнение:
а) по графику найдем проекцию начальной скорости: v 0 x = -8 м/с;
б) выберем на графике произвольную точку, например точку, которой соответствуют ί= 4с и v x = 0, и найдем проекцию ускорения:
в) полученные значения подставим в уравнение проекции скорости движения: v x = -8 + 2ί.
3. Ускорение тела неизменно (a x = 2 м/с 2), поэтому график a x ((— прямая, параллельная оси времени и расположенная выше этой оси (рис. 28.9).
Подводим итоги
Равноускоренное прямолинейное движение — это такое движение, при котором скорость движения тела за любые равные интервалы времени изменяется одинаково.
Ускорение a — это векторная физическая величина, которая характеризует скорость изменения скорости движения тела и равна отношению изменения скорости движения к интервалу времени, за который это изменение произошло:
Контрольные вопросы
1. Какое движение называют равноускоренным прямолинейным? 2. Дайте определение ускорения. 3. Какова единица ускорения в СИ? 4. Какой вид имеет график зависимости a x ((для равноускоренного прямолинейного движения? 5. Запишите уравнение зависимости v x ((для равноускоренного прямолинейного движения. Какой вид имеет график этой зависимости? 6. Как движется тело, если направление его ускорения: а) совпадает с направлением скорости движения? б) противоположно направлению скорости движения? Как движется тело, если его ускорение равно нулю?
Упражнение № 28
1. Может ли тело двигаться с большой скоростью, но с малым ускорением?
2. С каким ускорением двигался тронувшийся с места автомобиль, если через 10 с после начала движения его скорость была равна 15 м/с?
3. Шарик толкнули вверх по наклонной плоскости, придав скорость 2 м/с. Определите скорость движения шарика через 0,5 с; через 1 с; через 1,5 с после начала движения, если ускорение движения шарика 2 м/с 2 . Объясните полученные результаты.
4. При прямолинейном движении с неизменным ускорением 0,2 м/с 2 велосипедист достиг скорости 5 м/с за 25 с. Какой была начальная скорость движения велосипедиста?
5. Вычислите, сколько времени требуется автобусу для изменения скорости движения от 54 км/ч до 5 м/с, если его ускорение неизменно и равно 0,5 м/с 2 .
6. Даны уравнения проекции скорости движения для трех тел, движущихся вдоль оси OX: а) v x = 2 +1; б) v x = -20 + 5t;
в) v x = 10 - 3t. Все величины представлены в единицах СИ. Для каждого тела определите: 1) как двигалось тело; 2) каковы начальная скорость и ускорение движения тела; 3) если тело остановится, то через какое время.
7. На рис. 1 представлены графики зависимости a x (t) для двух тел. Для каждого тела запишите уравнение и постройте график зависимости v x ((, если v 01 x = - 4 м/с, v 02 x = 8 м/с.
8. На рис. 2 представлены графики зависимости v x ()для четырех тел. Для каждого тела запишите уравнение проекции скорости движения, постройте график зависимости a x (t).
9. Тело двигалось равноускоренно длительное время. На рис. 3 представлен график зависимости v x (t) для этого тела начиная с некоторого момента времени. Выясните время, когда тело изменило направление скорости своего движения.
10. По рис. 3 определите путь, пройденный телом за первые 4 с наблюдения.
Это материал учебника
В общем случае равноускоренным движением называют такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения . Для кинематического описания движения камня систему координат удобно выбрать так, чтобы одна из осей, например ось OY , была направлена параллельно вектору ускорения. Тогда криволинейное движение камня можно представить как сумму двух движений – прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения в перпендикулярном направлении, т. е. вдоль оси OX (рис. 1.4.1).
Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения. В случае прямолинейного движения векторы скорости и ускорения направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость υ и ускорение a в проекциях на направление движения можно рассматривать как алгебраические величины.
|
Рисунок 1.4.1. Проекции векторов скорости и ускорения на координатные оси. a x = 0, a y = –g |
При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой
(*)
В этой формуле υ 0 – скорость тела при t = 0 (начальная скорость ), a = const – ускорение. На графике скорости υ (t ) эта зависимость имеет вид прямой линии (рис. 1.4.2).
|
Рисунок 1.4.2. Графики скорости равноускоренного движения |
По наклону графика скорости может быть определено ускорение a тела. Соответствующие построения выполнены на рис. 1.4.2 для графика I. Ускорение численно равно отношению сторон треугольника ABC :
Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна ), тем больше ускорение тела.
Для графика I: υ 0 = –2 м/с, a = 1/2 м/с 2 .
Для графика II: υ 0 = 3 м/с, a = –1/3 м/с 2
График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s тела за некоторое время t . Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt . Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, т. е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt . Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt . Это перемещение равно площади заштрихованной полоски (рис. 1.4.2). Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt , получим, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF . Соответствующие построения выполнены для графика II на рис. 1.4.2. Время t принято равным 5,5 с.
Так как υ – υ 0 = at , окончательная формула для перемещения s тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется в виде:
(**)
Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t нужно к начальной координате y 0 прибавить перемещение за время t :
(***)
Это выражение называют законом равноускоренного движения .
При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной υ 0 и конечной υ скоростей и ускорения a . Эта задача может быть решена с помощью уравнений, написанных выше, путем исключения из них времени t . Результат записывается в виде
Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной скорости υ тела, если известны начальная скорость υ 0 , ускорение a и перемещение s :
Если начальная скорость υ 0 равна нулю, эти формулы принимают вид
Следует еще раз обратить внимание на то, что входящие в формулы равноускоренного прямолинейного движения величины υ 0 , υ, s , a , y 0 являются величинами алгебраическими. В зависимости от конкретного вида движения каждая из этих величин может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
При прямолинейном равноускоренном движении тело
- двигается вдоль условной прямой линии,
- его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
- за равные промежутки времени скорость меняется на равную величину.
Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, в 72 км/ч он двигается равноускоренно. Когда заданная скорость достигнута, то авто движется без изменения скорости, т. е. равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала от 0 до 72 км/ч. И пусть за каждую секунду движения скорость увеличивалась на 3,6 км/ч. Тогда время равноускоренного движения авто будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то надо ускорение 3,6 км/ч за секунду перевести в соответствующие единицы измерения. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .
Допустим, через какое-то время езды с постоянной скоростью автомобиль начал тормозить, чтобы остановиться. Движение при торможении тоже было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В данном случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательно.
Итак, если начальная скорость тела нулевая, то его скорость через время в t секунд будет равно произведению ускорения на это время:
При падении тела «работает» ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:
Если известна текущая скорость тела и время, которое понадобилось, чтобы развить такую скорость из состояния покоя, то можно определить ускорение (т. е. как быстро менялась скорость), разделив скорость на время:
Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже обладая какой-то скоростью (или ему придали начальную скорость). Допустим, вы бросаете камень с башни вертикально вниз с приложением силы. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню еще скорости. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет складываться из скорости, развившийся в результате ускорения и начальной скорости. Таким образом, конечная скорость будет находиться по формуле:
Однако, если камень бросали вверх. То начальная его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения вниз. То есть вектора скоростей направлены в противоположные стороны. В этом случае (а также при торможении) произведение ускорения на время надо вычитать из начальной скорости:
Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:
at = v – v 0
a = (v – v 0)/t
В случае торможения:
at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t
В случае, когда тело равноускоренно останавливается, то в момент остановки его скорость равна 0. Тогда формула сокращается до такого вида:
Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяется время, через которое тело остановится:
Теперь выведем формулы для пути, которое тело проходит при прямолинейном равноускоренном движении . Графиком зависимость скорости от времени при прямолинейном равномерном движении является отрезок, параллельный оси времени (обычно берется ось x). Путь при этом вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком. То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении графиком является прямая, но не параллельная оси времени. Эта прямая либо возрастает в случае ускорения, либо убывает в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.
При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура представляет собой трапецию. Ее основаниями являются отрезок на оси y (скорость) и отрезок, соединяющий точку конца графика с ее проекцией на ось x. Боковыми сторонами являются сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось x (ось времени). Проекция на ось x - это не только боковая сторона, но еще и высота трапеции, т. к. перпендикулярна его основаниям.
Как известно, площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени. Таким образом получаем:
s = ½ * (v 0 + v) * t
Выше была дана формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:
s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2
Итак, пройденный путь определяется по формуле:
s = v 0 t + at 2 /2
(К данной формуле можно прийти, рассматривая не площадь трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые разбивается трапеция.)
Если тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2 /2.
Если вектор ускорения был противоположен скорости, то произведение at 2 /2 надо вычитать. Понятно, что при этом разность v 0 t и at 2 /2 не должна стать отрицательной. Когда она станет равной нулю, тело остановится. Будет найден путь торможения. Выше была приведена формула времени до полной остановки (t = v 0 /a). Если подставить в формулу пути значение t, то путь торможения приводится к такой формуле.
Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.
Равноускоренное движение - это движение с постоянным вектором ускорения . Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.
Зависимость скорости от времени.
При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.
Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:
. (1)
В нашем случае имеем . Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор ? Разумеется, функцию . Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,
. (2)
Каков смысл константы ? В начальный момент времени скорость равна своему начальному значению: . Поэтому, полагая в формуле (2) , получим:
Итак, константа - это начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает свой окончательный вид:
. (3)
В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Часто хватает двух осей и прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) даёт два скалярных равенства:
, (4)
. (5)
Формула для третьей компоненты скорости, если она необходима, выглядит аналогично.)
Закон движения.
Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:
Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (3) :
(6)
Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (6) . Это несложно. Чтобы получить , надо продифференцировать функцию . Чтобы получить , нужно продифференцировать . Не забудем добавить и произвольную константу :
Ясно, что - это начальное значение радиус-вектора в момент времени . В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:
. (7)
Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:
. (8)
. (9)
. (10)
Формулы (8) - (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.
Снова вернёмся к закону движения (7)
. Заметим, что - перемещение тела. Тогда
получаем зависимость перемещения от времени:
Прямолинейное равноускоренное движение.
Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось . Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:
где - проекция перемещения на ось .
Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:
и подставим в формулу для перемещения:
После алгебраических преобразований (проделайте их обязательно!) придём к соотношению:
Эта формула не содержит времени и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.
Свободное падение.
Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.
Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения , направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают м/с.
Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.
Задача . Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи км.
Решение. Направим ось вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой
Имеем: - искомая скорость приземления, . Получаем: , откуда . Вычисляем: м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.
На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!
Задача . Тело брошено вертикально вверх со скоростью м/с. Найти его скорость через c.
Здесь , так что . Вычисляем: м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.
Задача. С балкона, находящегося на высоте м, бросили вертикально вверх камень со скоростью м/с. Через какое время камень упадёт на землю?
Решение. Направим ось вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу
Имеем: так что , или . Решая квадратное уравнение, получим c.
Горизонтальный бросок.
Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.
Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью с высоты . Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.
Выберем систему координат так, как показано на рис. 1 .
Используем формулы:
В нашем случае . Получаем:
. (11)
Время полёта найдём из условия, что в момент падения координата тела обращается в нуль:
Дальность полёта - это значение координаты в момент времени :
Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (11) . Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе:
Получили зависимость от , которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.
Бросок под углом к горизонту.
Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошенного под углом к горизонту.
Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью , направленной под углом к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.
Выберем систему координат так, как показано на рис. 2 .
Начинаем с уравнений:
(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость от снова является уравнением параболы.Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой.